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Development of
Algorithmic Constructions

19:04:48
Deutsch
19.May 2019

Primzahldefinitionen

1. Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer 1 und nur durch 1 und sich selber teilbar.

2. Eine Primzahl ist vollkommend symmetrisch.
Sie läßt sich als symmetrischen Baum zeichnen.

3. Jede Primzahl p hat die Ordnung p-1.
Zu jedem Teiler t von p-1 gibt es t Einheitswurzeln w, so daß w^t = 1 mod p

4. Jede Primzahl p, außer der 2, hat (p-1)/2 quadratische Reste und ebensoviele nicht quadratische Reste.

5. Jede Primzahl p besitzt primitive Wurzeln. Die Anzahl der primitiven Wurzeln läßt sich durch die Eulersche Phi Funktion beschreiben.

6. Jede Primzahl p bildet einen mathematischen Körper.

7. Jede Primzahl > 2 hat genau 2 quadratische Wurzeln von 1 nämlich 1 und p-1.

8. Alle Primzahlen außer der 2 lassen sich in zwei Gruppen einteilen:
a) p mod 4 = 1
b) p mod 4 = 3
Für die Primzahlen p mod 4= 3 läßt sich ein Siebverfahren realisieren

9. Alle Primzahlen außer der 2 und 3 lassen sich in zwei Gruppen einteilen:
a) p mod 6 = 1
b) p mod 6 = 5
Für die Primzahlen p mod 6= 5 läßt sich ein Siebverfahren realisieren

10. Alle Primzahlen außer der 2 lassen sich in drei Gruppen einteilen:
a) p mod 8 = 1 oder 3
b) p mod 8 = 1 oder 5
c) p mod 8 = 1 oder 7
Für jede Gruppe läßt sich ein Siebverfahren realisieren

11. Jede Primzahl läßt sich eindeutig als Differenz zweier Quadrate darstellen,
andernfalls läßt sich eine Faktorisierung ermitteln. Sieb des Fermat

12. Die Wurzel aus einer Primzahl ist immer eine irrationale Zahl. Beweis

13. Zu jeder ungeraden Primzahl läßt sich ein Körper mit der Ordnung p-1 und mit der Ordnung p+1 finden.

14. Jede Primzahl > 3 besitzt entweder eine natürliche oder eine algebraische dritte Einheitswurzel, da entweder p-1 oder p+1 durch 3 teilbar ist.

15. Jede Primzahl > 2 besitzt entweder eine natürliche oder eine algebraische vierte Einheitswurzel, da entweder p-1 oder p+1 durch 4 teilbar ist.

16. Primzahlen entstehen aus den pythagoräischen Tripeln.
Die Gruppe der pythagoräischen Tripeln entspricht der Gruppe |a+bI|=1 mod p mit a, b Element der ganzen Zahlen.