Primzahldefinitionen1. Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer 1 und nur durch 1 und sich selber teilbar.2. Eine Primzahl ist vollkommend symmetrisch. Sie läßt sich als symmetrischen Baum zeichnen. 3. Jede Primzahl p hat die Ordnung p-1. Zu jedem Teiler t von p-1 gibt es t Einheitswurzeln w, so daß w^t = 1 mod p 4. Jede Primzahl p, außer der 2, hat (p-1)/2 quadratische Reste und ebensoviele nicht quadratische Reste. 5. Jede Primzahl p besitzt primitive Wurzeln. Die Anzahl der primitiven Wurzeln läßt sich durch die Eulersche Phi Funktion beschreiben. 6. Jede Primzahl p bildet einen mathematischen Körper. 7. Jede Primzahl > 2 hat genau 2 quadratische Wurzeln von 1 nämlich 1 und p-1. 8. Alle Primzahlen außer der 2 lassen sich in zwei Gruppen einteilen: a) p mod 4 = 1 b) p mod 4 = 3 Für die Primzahlen p mod 4= 3 läßt sich ein Siebverfahren realisieren 9. Alle Primzahlen außer der 2 und 3 lassen sich in zwei Gruppen einteilen: a) p mod 6 = 1 b) p mod 6 = 5 Für die Primzahlen p mod 6= 5 läßt sich ein Siebverfahren realisieren 10. Alle Primzahlen außer der 2 lassen sich in drei Gruppen einteilen: a) p mod 8 = 1 oder 3 b) p mod 8 = 1 oder 5 c) p mod 8 = 1 oder 7 Für jede Gruppe läßt sich ein Siebverfahren realisieren 11. Jede Primzahl läßt sich eindeutig als Differenz zweier Quadrate darstellen, andernfalls läßt sich eine Faktorisierung ermitteln. Sieb des Fermat 12. Die Wurzel aus einer Primzahl ist immer eine irrationale Zahl. Beweis 13. Zu jeder ungeraden Primzahl läßt sich ein Körper mit der Ordnung p-1 und mit der Ordnung p+1 finden. 14. Jede Primzahl > 3 besitzt entweder eine natürliche oder eine algebraische dritte Einheitswurzel, da entweder p-1 oder p+1 durch 3 teilbar ist. 15. Jede Primzahl > 2 besitzt entweder eine natürliche oder eine algebraische vierte Einheitswurzel, da entweder p-1 oder p+1 durch 4 teilbar ist. 16. Primzahlen entstehen aus den pythagoräischen Tripeln. Die Gruppe der pythagoräischen Tripeln entspricht der Gruppe |a+bI|=1 mod p mit a, b Element der ganzen Zahlen. |
