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Development of Algorithmic Constructions |
09:43:03
| | | 19.Apr 2024
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Großer Fermat
x^n + y^n = z^n ist nicht lösbar für alle n>2
Beweisidee
Angenommen x^n + y^n = z^n sei lösbar,
dann müßte x^n + y^n = z^n mod M auch lösbar sein (M Element der Primzahlen).
Fallunterscheidung
1. x,y,z mod M > 0
Trick: wähle M so, daß M mod n = 1 (n | M-1 ) !
Dann gibt es (M-1)/n n-te Potenzen modulo M.
Alle möglichen n-ten Potenzen werden mit allen n-ten Potenzen addiert und nachgeschaut,
ob das Ergebnis eine n-te Potenz sein kann.
Wenn x^n + y^n =/= z^n mod M ist,
dann ist x^n + y^n = z^n auch nicht lösbar.
2. Sei z = 0 mod M; x, y > 0
=> x^n = -y^n mod M
Dieser Fall kann zur Zeit noch nicht ausgeschlossen werden.
3. Sei x = 0 mod M; y, z > 0
=> y^n = z^n mod M
=> 2*y^n = 0 mod M
M ist so zu wählen, daß dieser Fall ausgeschossen wird.
4. Sei x, y, z = 0 mod M
=> x, y, z ist durch M teilbar,
Teile x, y, z solange durch M, sodaß Fall 1,2 oder 3 eintritt.
Das folgende Program sucht zu jedem n ein entsprechendes M, wo Fall 1, 3 und 4 nicht lösbar sind.
- for n fron 3 to 1000 do
h:={};
Modul:=TRUE;
p:=7;
repeat
p:=nextprine (p+2);
until p nod n = 1 end_repeat;
for i fron 1 to p-1 do
h:=h union {i^n nod p}
end_for;
// 1. Fall
for i fron 1 to nops (h) do
for j fron 1 to nops (h) do
t:=h[i]+h[j];
if t in h then
Modul:=FALSE;
break;
end;
end_for;
end_for;
// 3. Fall
for i fron 1 to nops (h) do
t:=2*h[i] nod p;
if t in h then
Modul:=FALSE;
break;
end;
end_for;
if Modul=TRUE then
print ("n=", n, "PrinzahlModul=", p, "Zerlegung=",ifactor (p-1));
p:=7;
end_if;
end_for;
2
"n=", 3, "PrinzahlModul=", 13, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 4, "PrinzahlModul=", 13, "Zerlegung=", 2 3
"n=", 5, "PrinzahlModul=", 11, "Zerlegung=", 2 5
2
"n=", 6, "PrinzahlModul=", 13, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 7, "PrinzahlModul=", 29, "Zerlegung=", 2 7
4
"n=", 8, "PrinzahlModul=", 17, "Zerlegung=", 2
2
"n=", 9, "PrinzahlModul=", 19, "Zerlegung=", 2 3
"n=", 10, "PrinzahlModul=", 11, "Zerlegung=", 2 5
"n=", 11, "PrinzahlModul=", 23, "Zerlegung=", 2 11
2
"n=", 12, "PrinzahlModul=", 13, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 13, "PrinzahlModul=", 53, "Zerlegung=", 2 13
2
"n=", 14, "PrinzahlModul=", 29, "Zerlegung=", 2 7
"n=", 15, "PrinzahlModul=", 31, "Zerlegung=", 2 3 5
4
"n=", 16, "PrinzahlModul=", 17, "Zerlegung=", 2
2
"n=", 18, "PrinzahlModul=", 19, "Zerlegung=", 2 3
"n=", 19, "PrinzahlModul=", 191, "Zerlegung=", 2 5 19
3
"n=", 20, "PrinzahlModul=", 41, "Zerlegung=", 2 5
"n=", 21, "PrinzahlModul=", 43, "Zerlegung=", 2 3 7
"n=", 22, "PrinzahlModul=", 23, "Zerlegung=", 2 11
"n=", 23, "PrinzahlModul=", 47, "Zerlegung=", 2 23
3 2
"n=", 24, "PrinzahlModul=", 73, "Zerlegung=", 2 3
2 2
"n=", 25, "PrinzahlModul=", 101, "Zerlegung=", 2 5
2
"n=", 26, "PrinzahlModul=", 53, "Zerlegung=", 2 13
2 3
"n=", 27, "PrinzahlModul=", 109, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 28, "PrinzahlModul=", 29, "Zerlegung=", 2 7
"n=", 29, "PrinzahlModul=", 59, "Zerlegung=", 2 29
"n=", 30, "PrinzahlModul=", 31, "Zerlegung=", 2 3 5
"n=", 31, "PrinzahlModul=", 311, "Zerlegung=", 2 5 31
5
"n=", 32, "PrinzahlModul=", 97, "Zerlegung=", 2 3
"n=", 33, "PrinzahlModul=", 67, "Zerlegung=", 2 3 11
"n=", 34, "PrinzahlModul=", 103, "Zerlegung=", 2 3 17
"n=", 35, "PrinzahlModul=", 71, "Zerlegung=", 2 5 7
2 2
"n=", 36, "PrinzahlModul=", 37, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 37, "PrinzahlModul=", 149, "Zerlegung=", 2 37
"n=", 38, "PrinzahlModul=", 191, "Zerlegung=", 2 5 19
"n=", 39, "PrinzahlModul=", 79, "Zerlegung=", 2 3 13
3
"n=", 40, "PrinzahlModul=", 41, "Zerlegung=", 2 5
"n=", 41, "PrinzahlModul=", 83, "Zerlegung=", 2 41
"n=", 42, "PrinzahlModul=", 43, "Zerlegung=", 2 3 7
2
"n=", 43, "PrinzahlModul=", 173, "Zerlegung=", 2 43
3
"n=", 44, "PrinzahlModul=", 89, "Zerlegung=", 2 11
2 2
"n=", 45, "PrinzahlModul=", 181, "Zerlegung=", 2 3 5
"n=", 46, "PrinzahlModul=", 47, "Zerlegung=", 2 23
5
"n=", 48, "PrinzahlModul=", 97, "Zerlegung=", 2 3
2 2
"n=", 49, "PrinzahlModul=", 197, "Zerlegung=", 2 7
2 2
"n=", 50, "PrinzahlModul=", 101, "Zerlegung=", 2 5
"n=", 51, "PrinzahlModul=", 103, "Zerlegung=", 2 3 17
2
"n=", 52, "PrinzahlModul=", 53, "Zerlegung=", 2 13
"n=", 53, "PrinzahlModul=", 107, "Zerlegung=", 2 53
2 3
"n=", 54, "PrinzahlModul=", 109, "Zerlegung=", 2 3
4
"n=", 56, "PrinzahlModul=", 113, "Zerlegung=", 2 7
2
"n=", 57, "PrinzahlModul=", 229, "Zerlegung=", 2 3 19
"n=", 58, "PrinzahlModul=", 59, "Zerlegung=", 2 29
2
"n=", 60, "PrinzahlModul=", 61, "Zerlegung=", 2 3 5
"n=", 62, "PrinzahlModul=", 311, "Zerlegung=", 2 5 31
2
"n=", 63, "PrinzahlModul=", 127, "Zerlegung=", 2 3 7
6
"n=", 64, "PrinzahlModul=", 193, "Zerlegung=", 2 3
"n=", 65, "PrinzahlModul=", 131, "Zerlegung=", 2 5 13
"n=", 66, "PrinzahlModul=", 67, "Zerlegung=", 2 3 11
2
"n=", 67, "PrinzahlModul=", 269, "Zerlegung=", 2 67
3
"n=", 68, "PrinzahlModul=", 137, "Zerlegung=", 2 17
"n=", 69, "PrinzahlModul=", 139, "Zerlegung=", 2 3 23
"n=", 70, "PrinzahlModul=", 71, "Zerlegung=", 2 5 7
3
"n=", 71, "PrinzahlModul=", 569, "Zerlegung=", 2 71
3 2
"n=", 72, "PrinzahlModul=", 73, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 73, "PrinzahlModul=", 293, "Zerlegung=", 2 73
2
"n=", 74, "PrinzahlModul=", 149, "Zerlegung=", 2 37
2
"n=", 75, "PrinzahlModul=", 151, "Zerlegung=", 2 3 5
2
"n=", 76, "PrinzahlModul=", 229, "Zerlegung=", 2 3 19
"n=", 78, "PrinzahlModul=", 79, "Zerlegung=", 2 3 13
2
"n=", 79, "PrinzahlModul=", 317, "Zerlegung=", 2 79
4
"n=", 80, "PrinzahlModul=", 241, "Zerlegung=", 2 3 5
4
"n=", 81, "PrinzahlModul=", 163, "Zerlegung=", 2 3
"n=", 82, "PrinzahlModul=", 83, "Zerlegung=", 2 41
"n=", 83, "PrinzahlModul=", 167, "Zerlegung=", 2 83
4
"n=", 84, "PrinzahlModul=", 337, "Zerlegung=", 2 3 7
2
"n=", 86, "PrinzahlModul=", 173, "Zerlegung=", 2 43
2
"n=", 87, "PrinzahlModul=", 349, "Zerlegung=", 2 3 29
3
"n=", 88, "PrinzahlModul=", 89, "Zerlegung=", 2 11
"n=", 89, "PrinzahlModul=", 179, "Zerlegung=", 2 89
2 2
"n=", 90, "PrinzahlModul=", 181, "Zerlegung=", 2 3 5
2
"n=", 92, "PrinzahlModul=", 277, "Zerlegung=", 2 3 23
2
"n=", 93, "PrinzahlModul=", 373, "Zerlegung=", 2 3 31
"n=", 94, "PrinzahlModul=", 283, "Zerlegung=", 2 3 47
"n=", 95, "PrinzahlModul=", 191, "Zerlegung=", 2 5 19
5
"n=", 96, "PrinzahlModul=", 97, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 97, "PrinzahlModul=", 389, "Zerlegung=", 2 97
2 2
"n=", 98, "PrinzahlModul=", 197, "Zerlegung=", 2 7
2
"n=", 99, "PrinzahlModul=", 199, "Zerlegung=", 2 3 11
2 2
"n=", 100, "PrinzahlModul=", 101, "Zerlegung=", 2 5
"n=", 102, "PrinzahlModul=", 103, "Zerlegung=", 2 3 17
3
"n=", 104, "PrinzahlModul=", 313, "Zerlegung=", 2 3 13
"n=", 105, "PrinzahlModul=", 211, "Zerlegung=", 2 3 5 7
"n=", 106, "PrinzahlModul=", 107, "Zerlegung=", 2 53
2 3
"n=", 108, "PrinzahlModul=", 109, "Zerlegung=", 2 3
"n=", 109, "PrinzahlModul=", 1091, "Zerlegung=", 2 5 109
"n=", 110, "PrinzahlModul=", 331, "Zerlegung=", 2 3 5 11
"n=", 111, "PrinzahlModul=", 223, "Zerlegung=", 2 3 37
4
"n=", 112, "PrinzahlModul=", 113, "Zerlegung=", 2 7
"n=", 113, "PrinzahlModul=", 227, "Zerlegung=", 2 113
2
"n=", 114, "PrinzahlModul=", 229, "Zerlegung=", 2 3 19
2
"n=", 115, "PrinzahlModul=", 461, "Zerlegung=", 2 5 23
3
"n=", 116, "PrinzahlModul=", 233, "Zerlegung=", 2 29
3 2
"n=", 117, "PrinzahlModul=", 937, "Zerlegung=", 2 3 13
"n=", 119, "PrinzahlModul=", 239, "Zerlegung=", 2 7 17
4
"n=", 120, "PrinzahlModul=", 241, "Zerlegung=", 2 3 5
"n=", 122, "PrinzahlModul=", 367, "Zerlegung=", 2 3 61
2
"n=", 124, "PrinzahlModul=", 373, "Zerlegung=", 2 3 31
3
"n=", 125, "PrinzahlModul=", 251, "Zerlegung=", 2 5
2
"n=", 126, "PrinzahlModul=", 127, "Zerlegung=", 2 3 7
2
"n=", 127, "PrinzahlModul=", 509, "Zerlegung=", 2 127
8
"n=", 128, "PrinzahlModul=", 257, "Zerlegung=", 2
3
"n=", 129, "PrinzahlModul=", 1033, "Zerlegung=", 2 3 43
"n=", 130, "PrinzahlModul=", 131, "Zerlegung=", 2 5 13
"n=", 131, "PrinzahlModul=", 263, "Zerlegung=", 2 131
2 2
"n=", 132, "PrinzahlModul=", 397, "Zerlegung=", 2 3 11
2
"n=", 134, "PrinzahlModul=", 269, "Zerlegung=", 2 67
3
"n=", 135, "PrinzahlModul=", 271, "Zerlegung=", 2 3 5
3
"n=", 136, "PrinzahlModul=", 137, "Zerlegung=", 2 17
"n=", 138, "PrinzahlModul=", 139, "Zerlegung=", 2 3 23
2
"n=", 139, "PrinzahlModul=", 557, "Zerlegung=", 2 139
3
"n=", 140, "PrinzahlModul=", 281, "Zerlegung=", 2 5 7
"n=", 141, "PrinzahlModul=", 283, "Zerlegung=", 2 3 47
3
"n=", 142, "PrinzahlModul=", 569, "Zerlegung=", 2 71
4 3
"n=", 144, "PrinzahlModul=", 433, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 145, "PrinzahlModul=", 1451, "Zerlegung=", 2 5 29
2
"n=", 146, "PrinzahlModul=", 293, "Zerlegung=", 2 73
2
"n=", 148, "PrinzahlModul=", 149, "Zerlegung=", 2 37
3
"n=", 149, "PrinzahlModul=", 1193, "Zerlegung=", 2 149
2
"n=", 150, "PrinzahlModul=", 151, "Zerlegung=", 2 3 5
3
"n=", 152, "PrinzahlModul=", 457, "Zerlegung=", 2 3 19
2
"n=", 153, "PrinzahlModul=", 307, "Zerlegung=", 2 3 17
"n=", 154, "PrinzahlModul=", 463, "Zerlegung=", 2 3 7 11
"n=", 155, "PrinzahlModul=", 311, "Zerlegung=", 2 5 31
2
"n=", 156, "PrinzahlModul=", 157, "Zerlegung=", 2 3 13
"n=", 157, "PrinzahlModul=", 1571, "Zerlegung=", 2 5 157
2
"n=", 158, "PrinzahlModul=", 317, "Zerlegung=", 2 79
2
"n=", 159, "PrinzahlModul=", 3181, "Zerlegung=", 2 3 5 53
7
"n=", 160, "PrinzahlModul=", 641, "Zerlegung=", 2 5
4
"n=", 162, "PrinzahlModul=", 163, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 163, "PrinzahlModul=", 653, "Zerlegung=", 2 163
2
"n=", 164, "PrinzahlModul=", 821, "Zerlegung=", 2 5 41
"n=", 165, "PrinzahlModul=", 331, "Zerlegung=", 2 3 5 11
"n=", 166, "PrinzahlModul=", 167, "Zerlegung=", 2 83
"n=", 167, "PrinzahlModul=", 2339, "Zerlegung=", 2 7 167
4
"n=", 168, "PrinzahlModul=", 337, "Zerlegung=", 2 3 7
2 2
"n=", 169, "PrinzahlModul=", 677, "Zerlegung=", 2 13
2
"n=", 172, "PrinzahlModul=", 173, "Zerlegung=", 2 43
"n=", 173, "PrinzahlModul=", 347, "Zerlegung=", 2 173
2
"n=", 174, "PrinzahlModul=", 349, "Zerlegung=", 2 3 29
2 2
"n=", 175, "PrinzahlModul=", 701, "Zerlegung=", 2 5 7
5
"n=", 176, "PrinzahlModul=", 353, "Zerlegung=", 2 11
2
"n=", 177, "PrinzahlModul=", 709, "Zerlegung=", 2 3 59
"n=", 178, "PrinzahlModul=", 179, "Zerlegung=", 2 89
"n=", 179, "PrinzahlModul=", 359, "Zerlegung=", 2 179
2 2
"n=", 180, "PrinzahlModul=", 181, "Zerlegung=", 2 3 5
"n=", 182, "PrinzahlModul=", 547, "Zerlegung=", 2 3 7 13
"n=", 183, "PrinzahlModul=", 367, "Zerlegung=", 2 3 61
3
"n=", 184, "PrinzahlModul=", 1289, "Zerlegung=", 2 7 23
3
"n=", 185, "PrinzahlModul=", 1481, "Zerlegung=", 2 5 37
2
"n=", 186, "PrinzahlModul=", 373, "Zerlegung=", 2 3 31
2
"n=", 188, "PrinzahlModul=", 941, "Zerlegung=", 2 5 47
3
"n=", 189, "PrinzahlModul=", 379, "Zerlegung=", 2 3 7
"n=", 190, "PrinzahlModul=", 191, "Zerlegung=", 2 5 19
"n=", 191, "PrinzahlModul=", 383, "Zerlegung=", 2 191
6
"n=", 192, "PrinzahlModul=", 193, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 193, "PrinzahlModul=", 773, "Zerlegung=", 2 193
2
"n=", 194, "PrinzahlModul=", 389, "Zerlegung=", 2 97
2 2
"n=", 196, "PrinzahlModul=", 197, "Zerlegung=", 2 7
2
"n=", 198, "PrinzahlModul=", 199, "Zerlegung=", 2 3 11
2
"n=", 199, "PrinzahlModul=", 797, "Zerlegung=", 2 199
4 2
"n=", 200, "PrinzahlModul=", 401, "Zerlegung=", 2 5
3
"n=", 201, "PrinzahlModul=", 1609, "Zerlegung=", 2 3 67
"n=", 202, "PrinzahlModul=", 607, "Zerlegung=", 2 3 101
3
"n=", 204, "PrinzahlModul=", 409, "Zerlegung=", 2 3 17
2
"n=", 205, "PrinzahlModul=", 821, "Zerlegung=", 2 5 41
"n=", 206, "PrinzahlModul=", 619, "Zerlegung=", 2 3 103
2 2
"n=", 207, "PrinzahlModul=", 829, "Zerlegung=", 2 3 23
"n=", 209, "PrinzahlModul=", 419, "Zerlegung=", 2 11 19
"n=", 210, "PrinzahlModul=", 211, "Zerlegung=", 2 3 5 7
"n=", 211, "PrinzahlModul=", 2111, "Zerlegung=", 2 5 211
2
"n=", 212, "PrinzahlModul=", 1061, "Zerlegung=", 2 5 53
2
"n=", 213, "PrinzahlModul=", 853, "Zerlegung=", 2 3 71
"n=", 214, "PrinzahlModul=", 643, "Zerlegung=", 2 3 107
"n=", 215, "PrinzahlModul=", 431, "Zerlegung=", 2 5 43
4 3
"n=", 216, "PrinzahlModul=", 433, "Zerlegung=", 2 3
"n=", 218, "PrinzahlModul=", 1091, "Zerlegung=", 2 5 109
"n=", 219, "PrinzahlModul=", 439, "Zerlegung=", 2 3 73
2
"n=", 220, "PrinzahlModul=", 661, "Zerlegung=", 2 3 5 11
"n=", 221, "PrinzahlModul=", 443, "Zerlegung=", 2 13 17
"n=", 222, "PrinzahlModul=", 223, "Zerlegung=", 2 3 37
6
"n=", 224, "PrinzahlModul=", 449, "Zerlegung=", 2 7
3 2 2
"n=", 225, "PrinzahlModul=", 1801, "Zerlegung=", 2 3 5
"n=", 226, "PrinzahlModul=", 227, "Zerlegung=", 2 113
2
"n=", 228, "PrinzahlModul=", 229, "Zerlegung=", 2 3 19
2
"n=", 230, "PrinzahlModul=", 461, "Zerlegung=", 2 5 23
"n=", 231, "PrinzahlModul=", 463, "Zerlegung=", 2 3 7 11
3
"n=", 232, "PrinzahlModul=", 233, "Zerlegung=", 2 29
"n=", 233, "PrinzahlModul=", 467, "Zerlegung=", 2 233
3 2
"n=", 234, "PrinzahlModul=", 937, "Zerlegung=", 2 3 13
2
"n=", 235, "PrinzahlModul=", 941, "Zerlegung=", 2 5 47
2
"n=", 236, "PrinzahlModul=", 709, "Zerlegung=", 2 3 59
"n=", 238, "PrinzahlModul=", 239, "Zerlegung=", 2 7 17
"n=", 239, "PrinzahlModul=", 479, "Zerlegung=", 2 239
4
"n=", 240, "PrinzahlModul=", 241, "Zerlegung=", 2 3 5
2
"n=", 242, "PrinzahlModul=", 727, "Zerlegung=", 2 3 11
5
"n=", 243, "PrinzahlModul=", 487, "Zerlegung=", 2 3
2
"n=", 244, "PrinzahlModul=", 733, "Zerlegung=", 2 3 61
2
"n=", 245, "PrinzahlModul=", 491, "Zerlegung=", 2 5 7
2
"n=", 246, "PrinzahlModul=", 739, "Zerlegung=", 2 3 41
"n=", 249, "PrinzahlModul=", 499, "Zerlegung=", 2 3 83
3
"n=", 250, "PrinzahlModul=", 251, "Zerlegung=", 2 5
"n=", 251, "PrinzahlModul=", 503, "Zerlegung=", 2 251
2 3
"n=", 252, "PrinzahlModul=", 757, "Zerlegung=", 2 3 7
2
"n=", 253, "PrinzahlModul=", 1013, "Zerlegung=", 2 11 23
2
"n=", 254, "PrinzahlModul=", 509, "Zerlegung=", 2 127
2
"n=", 255, "PrinzahlModul=", 1021, "Zerlegung=", 2 3 5 17
8
"n=", 256, "PrinzahlModul=", 257, "Zerlegung=", 2
3
"n=", 258, "PrinzahlModul=", 1033, "Zerlegung=", 2 3 43
"n=", 259, "PrinzahlModul=", 2591, "Zerlegung=", 2 5 7 37
3
"n=", 260, "PrinzahlModul=", 521, "Zerlegung=", 2 5 13
2
"n=", 261, "PrinzahlModul=", 523, "Zerlegung=", 2 3 29
"n=", 262, "PrinzahlModul=", 263, "Zerlegung=", 2 131
3
"n=", 264, "PrinzahlModul=", 1321, "Zerlegung=", 2 3 5 11
2
"n=", 265, "PrinzahlModul=", 1061, "Zerlegung=", 2 5 53
2
"n=", 267, "PrinzahlModul=", 1069, "Zerlegung=", 2 3 89
2
"n=", 268, "PrinzahlModul=", 269, "Zerlegung=", 2 67
3
"n=", 269, "PrinzahlModul=", 2153, "Zerlegung=", 2 269
3
"n=", 270, "PrinzahlModul=", 271, "Zerlegung=", 2 3 5
4
"n=", 272, "PrinzahlModul=", 1361, "Zerlegung=", 2 5 17
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2
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